Wie zieht man die 3. Wurzel aus 216 ohne den taschenrechner zu benutzen?

Geht das nur durchs probieren?

Wenn man diese Dreierpotenz nicht auswendig kennt, knnt man hier folgendermaen vorgehen:
- die Zahl ist gerade, also steckt die 2 als Faktor drin; soll es eine natrlche Zahl als Kubikwurzel geben, muss die Zahl also durch 2=8 teilbar sein
- die Quersumme der Zahl (2+1+6=9) ist durch 3 teilbar, also steckt die 3 als Faktor drin*; soll es eine natrlche Zahl als Kubikwurzel geben, muss die Zahl also durch 3=27 teilbar sein

Man kann die Zahl also durch 2 * 3 teilen und weitersehen. Man kann sich bei dieser relativ kleinen Zahl aber schon denken, dass sie wohl genau dem 2 * 3 entspricht.
Rechnung: 2 * 3 = 8 * 27 = 8 * (25 + 2) = 200 + 16 = 216 [so kann man das z.B. alles im Kopf berechnen]
Passt!

Auerdem gilt: a * b = (a * b)
2 * 3 ist demnach (2 * 3) = 6.
Die 3. Wurzel aus 6 ist logischerweise gleich 6.

Aufgabe gelst.

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Ansonsten kann man die entsprechende Zahl natrlich auch systematisch eingrenzen.
Man sieht z.B. sofort, dass 216 kleiner ist als 10=1.000. Also muss die gesuchte Zahl kleiner als 10 sein.
Die Hlfte von 10 ist 5, die dritte Potenz der Hlfte betrgt nur ein Achtel ( * * ), also 125, was kleiner ist als 216.
Die gesuchte Zahl muss also zwischen 5 und 10 liegen. Viele Mglichkeiten bleiben da nicht mehr.
Wenn man jetzt noch erkennt, dass 216 eine gerade Zahl ist, wozu man wirklich kein Mathegenie sein muss, kommen als Kandidaten nur noch 6 und 8 in Frage.
Wenn man sich ein bisschen mit 2er-Potenzen auskennt, dann wei man, dass 2^10=1.024 ist (wer z.B. Festplattengren umrechnet, braucht diesen Umrechnungsfaktor, um kB in MB, oder MB in GB, oder GB in TB umzurechnen). 8 ist 2, 8 ist also 2^9, also die Hlfte von 2^10, was etwas mehr als 500 ist (512). Auch mehr als 216.
So kommt man ohne groes Rechnen nur ber das Ausschlussverfahren zu dem Schluss, dass eigentlich nur 6 als Kandidat in Frage kommen kann.
Das muss man dann halt noch nachrechnen...


Mit solchen berlegungen wrde ich ohne TR an so eine Aufgabe herangehen, um den Rechenaufwand durch Probieren zu minimieren.
Natrlich ist es so, dass je besser man sich in Mathe wohlfhlt und je besser das Gefhl fr Zahlen ist, umso einfacher man es damit hat, den Rechenaufwand so klein wie mglich zu halten.


Gru,
Zac

* alle Vielfache von 3 haben eine durch 3 teilbare Quersumme

Hallo!


Du kannst ganz einfach ohne Taschenrechner die dritte Wurzel einer (positiven ganzen) Zahl (einer Kubikzahl) ablesen.

Wie Tom schon sagt, Du betrachtest nur die Endziffer und die Grenze (hier:1000) .
Jede Kubikzahl zwischen 0 und 1000 (oder grer) hat eine eigens reservierte Endziffer.
Die dritte Wurzel dieser Zahl ist dann zwischen 0 und 10 (oder grer).
1....1
2...8
3...7
4...4
5...5
6...6
7...3
8...2
9...9

Die Quadratzahlen zwischen 0 und 100 sollte man wirklich parat haben.
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100

Die 216 hat die Endziffer 6 ist unter 1000 (Grenze = 10; die Zahl wird unter 10 sein).
Damit sollte die 216 = 6...sein ......................unter 10.
Wir prfen : Die Quadratzahl (6*6=36) mal 6 ergibt tatschlich = 216 = 6*6*6 => 216 = 6

Mach Dir vielleicht mal eine Liste, wie diese. Dann kannst Du sogar die dritte Wurzel aus einer Kubikzahl ziehen, die ber 1000 liegt. Einfach ablesen:


............... Endziffer
---------------------------------------------------------
1.....(1) * 1 = ...1 => Grenze 1000 = 10
2.....(4) * 2 = ...8 => Grenze 8000 = 20
3.....(9) * 3 = ...7 => Grenze 27.000 = 30
4....(16) * 4 = ...4 => Grenze 64.000 = 40
5....(25) * 5 = ...5 => Grenze 125.000 =50
6....(36) * 6 = ...6 => Grenze 216.000 = 60
7....(49) * 7 = ...3 => Grenze 343.000 = 70
8....(64) * 8 = ...2 => Grenze 512.000 = 80
9....(81) * 9 = ...9 => Grenze 729.000 = 90
............................=> Grenze 1.000.000 = 100

Beispiel:
343 ist unter 1000 und hat die Endziffer 3. Also kann die nur die 7 sein. Wir prfen:
7*7*7 = 49*7 = 343

Beispiel:
Diese Zahl 636.056 ist zwischen 80 und 90 => also schonmal 80 und die Endziffer ist 6 => also sollte die
aus 636.056 die Zahl 86 sein. Wir prfen: 86*86*86 = 636.056 perfekt

Beispiel:
19.683 ist zwischen 20 und 30 und hat die Endziffer 3 => also sollte aus 19.683 die Zahl 23 sein.
Wir prfen: 23*23*23 = 19.683

Beispiel:
110.592 ist zwischen 40 und 50 und hat die Endziffer 2 => also sollte aus 110.592 die Zahl 48 sein.
Wir prfen: 48*48*48 = 110.592


Sollte die berprfung mit der Ausgangszahl nicht bereinstimmen, dann war Deine gegebene Zahl KEINE ganze Kubikzahl.

Wenn Du die aus dieser geg. Zahl dann mit dem Taschenrechner ziehen/ berechnen wrdest, erhieltest Du eine Kommazahl.
Die Zahl 212 zum Beispiel ist unter 1000 und hat die Endziffer 2, damit wre ... = 8 (nach Liste).
Bei der berprfung passiert das:
Aber 8*8*8 = 512 212 und damit ist die 212 KEINE ganze Kubikzahl. Da wir aber die 216 = 6 mittlerweile kennen, muss die 212 5,9... sein. Aber das wolltest Du wahrscheinlich gar nicht mehr wissen.


Gru

logarithmentafel

Man sollte eine gewisse Menge
an Quadrat- und Kubikzahlen
stndig im Kopf haben, so z.B.
2^0 bis 2^10,
3^0 bis 3^6,
5^0 bis 5^4,
7^0 bis 7^3,
und
11^0 bis 11^3.
Dann ist es kein Problem, solche
Aufgaben zu Lsen. Ein weiteres Indiz
fr das Ergebnis 6 ist die Einerziffer 6.

In diesem Falle kann man es noch
im Kopf errechnen: 6.

Aber werden die Zahlen grer,
klappt das nicht mehr.

Hier wird erklrt wie man
schriftlich Wurzeln zieht.
Sieht erst kompliziert aus, mit
etwas bung iat es aber gar
nicht so schwer......

http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm