hi Leute

Im buch gibts ein Beispiel von Normalform die ich zu exponential umformen muss

z:2-2i

mein Loesung:
wurzel 8.e^7pi/4. i

im Buch steht aber wurzel 8.E^pi/4.i

welche ist korrekt??

Hallo gita!


KN hat vllig Recht. Das ist Vereinbarungssache, wie man den Winkel im Exponenten angibt (7/4 Pi oder -1/4 Pi). Beides ist korrekt. Du httest auch 15/4 Pi oder - 9/4 Pi angeben knnen. blich ist aber tatschlich -1/4 Pi.

Wenn man beispielsweise den Winkel alpha berechnen will, bei dem sin(alpha) = 1 ist, gibt man blicherweise auch Pi/2 (= 90°) = alpha fr den Winkel an. => sin(1) = alpha = Pi/2 (= 90°) = Winkel.
Spuckt Dir jeder Taschenrechner aus. Da allerdings Sinus und Kosinus beides 2Pi-periodische Funktionen sind, ist natrlich auch sin(1) = alpha = 5/2 Pi (= 450°) der Winkel ein korrektes Ergebnis. Es kommt also darauf an, in welchem Wertebereich von sin man sich bewegt (bzw. Definitionsbereich von sin oder cos ....).

Ebenso ist es mit der Tangens-Funktion tan=sin/cos (Nullstellen des cos sind ausgeschlossen); bzw. ihre Umkehrfunktion tan (=arctan) .

Wenn man eine komplexe Zahl z = x + iy in Polarkoordinaten (r=Radius, alpha=Winkel) umrechnen will, ist der Radius r = (x + y) . Das ist klar.
Den Winkel alpha bestimmt man mit der Umkehrfunktion von tan => tan(...) = arctan(...) = ? = Winkel

z = x + iy ..................in kartesische Koordinaten x ,y
x -reelle Achse und iy- imaginre Achse
=>
z = r * e^(alpha*i) .....in Polarkoordinaten r , alpha
r = Radius und alpha =Winkel
z = r * e^(Winkel*i)

(x + y) = r = Radius
und
arctan(y/x) = alpha = Winkel ....x > 0
Beispiel:
z = 2 + 2i => r = (2 + 2) und Winkel = arctan(2/2) = arctan(1) = 45°= Pi/4
Diese komplexe Zahl z befindet sich im ersten Quadranten in dem x/iy Koordinatensystem. 2 nach rechts und 2 nach oben. Als Vektor der Lnge r = Radius und mit einem Winkel von 45° (Steigung = 1; Winkelhalbierende des 1. Quadranten)
=> z = r*e^(Pi/4 * i)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=convert+2+%2B+2i+to+polar+form


Entsprechnend Dein Beispiel (x>0):
z = 2 - 2i => r = (2 + (-2)) und Winkel = arctan(-2/2) = arctan(-1) = -45°= -Pi/4
Diese komplexe Zahl z befindet sich im vierten Quadranten in dem x/iy Koordinatensystem. 2 nach rechts und 2 nach unten. Als Vektor der Lnge r = Radius und mit einem Winkel von -45° (Steigung = -1; Winkelhalbierende des 4.Quadranten)
=> z = r*e^(-Pi/4 * i)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=convert+2+-+2i+to+polar+form


Falls x < 0 ist, gibt es folgende Vereinbarungen/oder besser bliche Definitionen:

z = -2 - 2i => Winkel = alpha= ( arctan(-2/-2) - Pi ) = ( arctan(1) - Pi ) = 45° -180° = -135°
(bzw. im Bogenma) = Pi/4 - Pi = -3/4 Pi
Diese komplexe Zahl z befindet sich im dritten Quadranten in dem x/iy Koordinatensystem. 2 nach links und 2 nach unten. Als Vektor der Lnge r = Radius und mit einem Winkel von -135° (Steigung = 1; Winkelhalbierende des 3. Quadranten)
=> z = r*e^(-3/4 Pi * i)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=convert+-2+-+2i+to+polar+form
......... Winkel = arctan(y/x) - Pi

Entsprechend
z = -2 + 2i => Winkel = alpha= ( arctan(2/-2) + Pi ) = ( arctan(-1) + Pi ) = -45° +180° = 135°
(bzw. im Bogenma) = -Pi/4 + Pi = 3/4 Pi
Diese komplexe Zahl z befindet sich im zweiten Quadranten in dem x/iy Koordinatensystem. 2 nach links und 2 nach oben. Als Vektor der Lnge r = Radius und mit einem Winkel von 135° (Steigung = -1; Winkelhalbierende des 2. Quadranten)
=> z = r*e^(3/4 Pi * i)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=convert+-2+%2B+2i+to+polar+form
......... Winkel = arctan(y/x) + Pi


So, jetzt hast Du alle vier Mglichkeiten.
Wenn Du magst, kannst Du es auch bei Wikipedia nachlesen.
Dort findest Du auch die blichen Definitionen fr x = 0.
(Denn fr arctan(y/x) darf x nicht = 0 sein, sonst wrde man durch Null div. )
Deswegen gilt definitionsgem
http://www.wolframalpha.com/input/?i=convert+-2i+to+polar+form
z = 2i => z = 2*e^(Pi/2 * i) und z = -2i => z = 2*e^(-Pi/2 * i)
(+/-90° entspricht +/-Pi/2 in Bogenma)


http://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#Der_.E2.80.9EArkustangens.E2.80.9C_mit_zwei_Argumenten_.28atan2.29
Man nennt ihn atan2(y,x) .... atangenszwei, also der Arkustangens mit zwei Argumenten



Ein Tipp: Wenn Du fr den Winkel alpha > 1 Pi erhltst,
(in Deinem Beispiel sind es 7/4 Pi = 4/4 Pi + 3/4 Pi = 1 Pi + 3/4 Pi > 1 Pi)
ziehe einfach 2 Pi ab, dann kommst Du auch auf die bliche Darstellungsweise der Polarform einer komplexen Zahl:
7/4 Pi - 2 Pi = -1/4 Pi =>

fr z = 2 - 2i in Polarform (Radius,Winkel)
z = r * e^(-1/4 Pi * i) = r * e^(Winkel * i)

(Wertebereich des atan2(y,x) = Winkel
-Pi < Winkel = atan2(y, x) Pi
Entsprechend fr den Fall, dass Du Werte fr den Winkel erhltst, die < -Pi sind. Dann addierst Du einfach 2 Pi).

Hast du bei der Buchlsung ein "-" vergessen?

Wenn du eine komplexe Zahl

z= a + b i

in die Polardarstellung

z= r exp( i phi)

umrechnest, erhlst du

r= Wurzel(a+b)

und phi = arctan(b/a)

Aufgrand der Periodizitt des arctan und damit der Polardarstellung ist

z=r exp(i phi) = r exp(i phi+ 2 pi n)

(nN).

Jetzt gibt es verschiedene Konventionen, wie man phi angibt. am gebruchlichsten sind

-pi
und

0<=phi<2 pi

Nach der 2. wre deine Lsung korrekt. Nach der ersten wre Wurzel (8) exp(-pi/4 i) korrekt. Keine der beiden Lsungen ist falsch. Statt Wurzel(8) kann man ja auch 2*Wurzel(2) schreiben. Welche der beiden Darstellungen ist "einfacher" oder "korrekter"?

Wenn Du kurz rckwrts rechnest:

8*(cos(/4)+i*sin(/4))
= 8*((1/2)2+i*(1/2)2)
= 2+2i
Das kann nicht sein!

Hingegen
8*(cos(7/4)+i*sin(7/4))
= 8*((1/2)2+i*(-1/2)2)
= 2-2i

Also ist Deine Lsung die Richtige!