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Hallo!
Ja, Du solltest grundstzlich was mit Eigenvektoren und Eigenwerten machen, um zu testen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist. Mit dem Gauverfahren prfst Du nur, ob sie invertierbar ist.
Das ist wie mit den Rechtecken und Quadraten.
Jedes Quadrat ist ein Rechteck. Aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.
Genauso verhlt es sich mit den diagonalisierbaren (diag.) und invertierbaren (inv.) Matrizen:
Jede invertierbare Matrix ist diagonalisierbar. Aber nicht jede diagonalisierbare Matrix ist invertierbar.
Triviales Beispiel: Die Nullmatrix ist diag., aber nicht inv.
Oder es reicht schon eine Nullzeile
(1 0 0)
(0 2 0)
(0 0 0)
diese Matrix ist nicht inv. , aber offensichtlich eine Diagonal-Matrix.
Eine quadratische Matrix A (nxn) ist diagonalisierbar, wenn man eine inv. Matrix S findet, so dass, wenn man sie von rechts und deren Inverse S^(-1) von links an die Matrix A multipliziert, dann als Ergebnis eine Diagonal-Matrix D_A erhlt. In dieser Diagonal-Matrix D_A stehen die Eigenwerte der Matrix A in der Hauptdiagonalen (sonst Nullen).
D_A= S^(-1)*A*S
<=> S*D_A = A*S
D_A = diag(1, 2,....,n), wobei 1, 2,....,n sind Eigenwerte der Matrix A
http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix#Diagonalisierung
(I bedeutet hier Einheitsmatrix (Identittsmatrix))
1.
Um die Eigenwerte zu bestimmen, bedient man sich dem charakeristischen Polynom und bestimmt dessen Nullstellen. (Zumindest bei kleinen Matrizen 2x2 oder 3x3, bei greren Matrizen gibt es geeignetere Verfahren, die in den Bereich der Numerik fallen. Denn es ist nicht unbedingt einfach die Nullstellen eines Polynoms 4., 5. oder hheren Grades zu bestimmen. Aber ich glaube, Du studierst Lin.Algebra?! Und meistestens geht es dann um 3x3 Matrizen. Also...)
Charakteristische Polynom
CharPolynom_A() = det(E - A) = 0
det -Determinante;
E-Einheitsmatrix
Das Beispiel
http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom#Beispiel
Aus dem Beispiel erkennt man, mit
A=
(1 0 1)
(2 2 1)
(4 2 1)
sind die Eigenwerte (1, 2,3) = (1, -1, 4)
Man hat also
D_A = diag(1, -1, 4) = S^(-1) *A*S
diag(1, -1, 4) =
(1 0 0)
(0 -1 0)
(0 0 4) ist eine Diagonalmatrix
Das bedeutet: A ist diagonalisierbar.
2.
Die Matrix S bestimmt man, indem man die Eigenrume (ER) zu jedem einzelnen Eigenwert berechnet.
S= ER(1), ER(-1), ER(4))
Man lst die drei lin. GLSysteme
(A - 1*E) * (x,y,z)^T = (0,0,0)^T
(A - 2*E) * (x,y,z)^T = (0,0,0)^T
(A - 3*E) * (x,y,z)^T = (0,0,0)^T
^T bedeutet transponiert
Man kann hier wirklich schlecht Matrizen und Vektoren darstellen.
Fr den Eigenwert 4 she das z.B. so aus:
...(1 0 1) (4 0 0)...(x).....(0)
..[(2 2 1)-(0 4 0)]*(y)] = (0)
...(4 2 1) (0 0 4)...(z)....(0)
Das sollen zwei Matrizen sein, die voneinander subtrahiert werden und mit dem Spaltenvektor (x,y,z) multipliziert der Nullvektor ergibt.
<=>
(1 - 4)x + 0y + 1z = 0
2x + (2-4)y + 1z = 0
4x + 2y + (1-4)z = 0
<=> x = 1/3z
-2y = -z -2x
<=> y = z/2 + x
<=> y = 3x/2 + x = 5/2x
Fr die Eigenwerte 1 und -1 genauso vorgehen.
Ein Beispiel fr S wre dann (letzte Spalte (1 5/2 3)^T fr Eigenwert 4 )
(1 ..1 ..1...)
(2 ..0 ..5/2)
(0. -2...3..)
Dazu bildest Du noch die Inverse S^(-1) und dann gilt tatschlich
D_A = S^(-1)*A*S
Ich hoffe, es war verstndlich.
Du kannst aber gerne nochmal nachfragen, wenn etwas unklar ist.
Gru
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