Hallo allerseits. Ich habe ein echtes Problem. Ich will die Ortskurve eines Wendepunktes berechnen, wei aber nicht wie ich die Wurzel nehmen soll.Folgende Funktion 2. Grades:
fk(x)=12x-2k l +2k
12x=2k l :12
x=2/12k =>1/6k --->x1= Wurzel1/6k und x2= -Wurzel1/6k
Ist das berhaupt richtig oder kommt Wurzel aus k/6 hin ?
Kann mir bitte jemand den y-Wert damit berechnen ? fk(x)=x^4-kx
Und aus Extrema habe ich ausgerechnet:
fk(x)= 4x-2kx
= x(4x-2k)
= 4x-2k l +2k
2k = 4x l : 4
Wie ziehe ich da jetzt die Wurzel? Ich habe im Taschenrechner einfach die Wurzel von 0,5 eingegeben und 0,71...k;-0,71...k rausgekriegt. Oder muss ich stattdessen Wurzel aus k/2 rechnen ? Bitte sofort richtig ausrechnen,wenns geht mit Erklrung.
Vielen Dank im Voraus

Du hast Dir sehr viel Mhe gegeben, die Aufgabe aufzuschreiben und Deine Frage(n) unterzubringen.
Jetzt habe ich mir die wichtigsten Rechenschritte herausgesucht und so notiert
(den Parameter k lasse ich hier mal bei fk(x) weg, weil er sich nicht als Index schreiben lsst und das Ganze dadurch schwer leserlich wird);
auch sei k0:

f(x)=x - kx= x(x-k) symmetrisch zur y-Achse, weil f(x) = f(-x) fr alle x gilt
f(x)= 4 x - 2kx = x(4x-2k)
f(x) = 12 x - 2k
f(x) = 24 x

Nullstellen:
x=0 sowie x = k
Fr k<0 gibt es keine Nullstellen, fr k=0 nur eine, denn dann wre f(x) = x.

Extrema: ( 0 0 ) sowie ( (k) - k )
Hier schon Fallunterscheidung:
k>0 MAX( 0 0 ) und - logischerweise - die anderen beiden MIN
k<0 MIN( 0 0 ) und keine weiteren Extrema

Wendepunkte:
W( [(1/6)k] -5/36 k ) fr k>0 tatschlich zwei Wendepunkte
Fr k<0 gibt es keine Wendepunkte; fr k=0 vgl. Bemerkung bei Nullstellen.

ORTSKURVE der Wendepunkte? Hier das Vorgehen ALLGEMEIN:
Du hast die Koordinaten des Wendepunktes / der Wendepunkte in Abhngigkeit von k:
xk = . . .
yk = . . .
Um die Ortskurve zu finden, musst Du diese beiden Gleichungen als Gleichungssystem behandeln und lediglich den Parameter k eliminieren; dann stellst Du die Gleichung nach y= ... um.

Nun KONKRET (bei der Aufgabe also nur sinnvoll fr k>0):

Hier zunchst die Rechnungen fr "Wendepunkt 1" (Index k fr die Koordinaten aus Grnden der bersichtlichkeit hier wieder weggelassen):
x = + [(1/6)k]
y = - 5/36 k
Aus folgt x = 1/6k bzw. k = 6x, was wir in einsetzen und erhalten:
y = -5/36 36x = -5x

Fr den "Wendepunkt 2" mit x = - [(1/6)k] und y = - 5/36 k analoge Rechnungen ausgefhrt, bringen (wegen des Quadrierens) dasselbe Ergebnis.

Die Frage nach den Wendepunkten bzw. ihrer Ortskurve ist also nur sinnvoll fr k>0.

Stellst Du einige Elemente der Kurvenschar (fr k>0) grafisch dar, erhltst Du nur "W-Formen" mit dem lokalen MAX in (00) und jeweils zwei zur y-Achse symmetrisch liegenden MIN im III. und IV. Quadranten. Zwischen dem MAX und dem jeweiligen MIN findest Du - bei all diesen Kurven - je einen Wendepunkt (im III. bzw. IV. Quadranten). Diese Wendepunkte liegen ALLE auf der Potenzfunktion y = -5x, einer gestreckten und nach unten geffneten Parabel.

Wendepunkte:

x1= Wurzel1/6k und x2= -Wurzel1/6k
Das ist soweit richtig. Hier musst du 3 Flle unterscheiden:

1. k ist grer als 0. Dann gibt es fr x1 und x2 reelle Lsungen. 2 Wendepunkte.
2. k =0. Dann ist x1 = x2 = Wurzel(0) = 0. Nur eine Lsung. Ein Wendepunkt.
berprfung des Wendepunktes mit der 3. Ableitung: fk(x) muss ungleich 0 sein an dem Wendepunkt.
fk(x)=24x
fk(0)=0
Dieser "Wendepunkt" ist eigentlich keiner.
3. k ist kleiner als 0. Dann bleibt die Lsungsmenge leer. Keine Wendepunkte.


Kann mir bitte jemand den y-Wert damit berechnen?

fk(x)=x^4-kx
x = Wurzel(k/6)
y = Wurzel(k/6)^4 -k * Wurzel(k/6)^2
y = (k/6) - k * (k/6)
y = k/36 - 6k/36
y = -5k/36

Da die Funktion spiegelsymmetrisch ist, gilt dies fr x1 und x2.







Extrema:

Ein Extremum hast du unterschlagen. Es liegt bei x=0, Koordinaten ( 0 0 ).

2k = 4x l : 4
0,5k = x

0,5k = k/2.
k muss selbstverstndlich mit in die Wurzel.

Die Lsungen sind: x1 = Wurzel(k/2) = 0,707 * Wurzel(k)
und x2 = -Wurzel(k/2) = -0,707 * Wurzel(k)