Hallo ich habe ein kleines Matheproblem und zwar ist die Aufgabe: "Ermitteln Sie den Flcheninhalt der Flche, die der Graph der Funktion f ber den angegebenden Intervall mit der x-Achse einschliet"
Nun ist die Funktion : f(x) = 0,5x^2 - 3x + 7/2 und der Intervall [1;5]
Mein Lsungsansatz war jetzt, dass ich es mit der Integralrechnung mache.
Also habe ich erst aufgeleitet : 0,5x^3/3 - 3x^2/2 + 7/2x
Nun habe ich in diese Funktion erst die 5 und anschlieend die 1 eingesetzt und bin zu folgenden Ergebnissen gekommen:
5= 5/6
1= 13/6
Nun habe ich das Ergebnis von 5 von dem von 1 abgezogen. Ergebnis : -4/3
Allerdings dagt mir mein Taschenrechner ein anderes Ergebnis. Knnt ihr mir sagen was ich falsch gemacht habe, oder wie ihr vorgegangen wrt?
Dankeschn schon mal.

Du hast richtig gerechnet, Dein Taschenrechner irrt!

Ich vermute mal, dass hier ein Tippfehler vorliegt.

Kann es sein, dass die Funktion heien sollte
y = f(x) = 0,5x - 3x + 5/2 ????
Dann wre das nmlich
y = f(x) = 0,5( x - 6x + 5) = 0,5(x - 1)(x - 5)

Nur so wre die Aufgabenstellung nmlich sinnvoll, dass der Graph der Funktion mit der x-Achse eine Flche einschliet - und zwar tatschlich im Intervall [1 ; 5]

Dann wre F(x) = x/6 - 3/2 x + 5/2 x

F(5) = - 25/6
F(1) = 7/6

Jetzt wre F(5) - F(1) = - 16/3

Das wre das bestimmte Integral der Funktion in den Grenzen von 1 bis 5.
Die Flche aber liegt unter der x-Achse. Der Flcheninhalt ist der absolute Betrag dieses Integrals, also 16/3.

Also: berprfe bitte noch einmal genau die Aufgabenstellung.
Solltest du Dich nicht vertippt haben, ist die Aufgabenstellung NICHT sinnvoll, denn der Graph der von Dir genannten Funktion schliet allein mit der x-Achse in diesem Intervall keine Flche ein.
Dazu wrde man dann zustzlich noch zwei Parallelen zur y-Achse bentigen.

Hallo Johanna!


Schau Dir Deine Funktion mal bei wolframalpha an. Diese Parabel schneidet die x-Achse (zwischen 1 und 5) zweimal,
und zwar
ungefhr bei x = 1,6 und x = 4,4
genau bei x = 3 - 2 (erste Nullstelle) , x = 3 + 2 (zweite Nullstelle)
(Betragsmig haben die beiden Nullstellen zu ihren jeweiligen Intervallgrenzen 1 und 5 den gleichen Abstand, ca. 0,6.)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+0.5x^2+-+3x+%2B+7%2F2%2C+x%3D1..5

Wenn Du nun die Inhalte der Flche (, die durch die Funktion und der x-Achse eingeschlossen ist) mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen willst, musst Du die beiden blauen Flchen einzelnd, sowie die rote Flche berechnen (integrieren) und diese anschlieend (betragsmig) addieren. Denn die blauen Flchen (ber der x-Achse und unter der Funktion) sind positive Integrale und die rote Flche unter der x-Achse und ber der Funktion) ist ein negatives Integral.

Das bedeutet:
Du integrierstst von linke Intervallgrenze (die 1) bis zur ersten Nullstelle 1,6.
Der Flcheninhalt betrgt ca. 0,276142 FE

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+1%2F2+x^2+-+3x+%2B+7%2F2+%2C+x%3D1..3-sqrt%282%29

Das zweite Integral von der ersten Nullstelle (1,6) bis zur zweiten Nullstelle (4,4)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+++1%2F2*x^2+-+3x+%2B+7%2F2++%2C+x%3D3-sqrt%282%29..3%2Bsqrt%282%29
ist ca. -1,88562 FE = 1,88562 FE

und das dritte Integral von der zweiten Nullstelle bis zur rechten Intervallgrenze (die 5)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+++1%2F2*x^2+-+3x+%2B+7%2F2++%2C+x%3D3%2Bsqrt%282%29..5
ist ca. 0,276142 FE

Insgesamt ergeben die drei Flchen (betragsm) addiert ca. 2,4379 FE
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28++Integral+1%2F2*+x^2+-+3x+%2B+7%2F2+%2C+x%3D1..%283-sqrt%282%29+%29%2B+%28Integral+1%2F2*x^2+-+3x+%2B+7%2F2+%2C+x%3D3-sqrt%282%29..3+%2Bsqrt%282%29+%29+%2B+%28+Integral+1%2F2*x^2+-+3x+%2B+7%2F2%2Cx%3D3%2Bsqrt%282%29..5%29


Kleiner Tipp noch fr die Eingabe in Deinem TR.
Tippe 1/2 anstatt 0,5 ein, damm erhltst Du die exakte Lsung und nicht nur die angenherte.
Die Flche zwischen der Funktion und der x-Achse betrgt ganz genau
(82/3 - 4/3) FE 2,4379 FE
Die beiden blauen Flchen und die rote Flche addiert.

Du hast irrtmlicherweise das Integral von 1 bis 5 berechnet. Das Ergebnis ist richtig (= -4/3). Aber nach diesem Ergebnis ist nicht gefragt! Hier ntzt es auch nicht, wenn Du -4/3 in den den Betrag stellst 4/3 FE. Denn, wenn Du ber die beiden Nullstellen hinweg integrierst, erhltst Du die blauen Flcheninhalte MINUS roter Flcheninhalt.
0,276142 - 1,88562 + 0,276142 = -1,33336
Rote Flchen liegen unter der x-Achse (MINUS).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+1%2F2+x^2+-+3x+%2B+7%2F2%2C+x%3D1..5

Sondern, es ist wie gesagt, nach diesem Flcheninhalt gesucht
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+1%2F2+x^2+-+3x+%2B+7%2F2%2C+x%3D1..5

Um das zu beheben, muss man von linke Intervallgrenze (die 1) bis zu den einzelnen Nullstellen integrieren und von den Nullstellen bis zur rechten Intervallgrenze (die 5), betragsmig alle Integrale addieren:
0,276142 + - 1,88562 + 0,276142 2,4379.

Die Nullstellen der Funktion 1/2 x - 3x + 7/2 = 0
Multipliziere die Gleichung mit 2
<=> x - 6x + 7 = 0
mit p/q-Formel erhltst Du die beiden exakten Lsungen/Nullstellen
x = 3 - 2 oder x = 3 + 2


Drei Integrale
von 1 bis 3 - 2
von 3 - 2 bis 3 + 2
von 3 + 2 bis 5, denn es gilt:

1 < 3 - 2 < 3 + 2 < 5
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+1%2F2+x^2+-+3x+%2B+7%2F2%2C+x%3D1..5



Gru

Ich habe f(x) in meinen grafikfhigen Taschenrechner eingegeben und kann dir sagen wo der Fehler liegt. Die Stammfunktion (Aufleitung) ist richtig.

Nun sollst du das Integral im Intervall 1 bis 5 ausrechnen. Die Aufgabe sagt dir schon, dass nur der Teil zu beachten ist, das die x-Achse EINSCHLIET.
Allerdings schliet eben nicht der ganze Graph von 1 bis 5 die Achse ein.
Wie in meiner Zeichnung zu erkennen ist: http://imageshack.us/photo/my-images/824/integral.jpg/
ist hier nur der rote Teil von Bedeutung, der blaue Anteil gehrt nicht mehr dazu.

Jetzt musst du die Schnittpunkte der Funktion f(x) mit der x-Achse berechnen, also die Nullstellen.
0,5x - 3x + 3,5 = 0 ; das gesuchte x soll in der Gleichung eingesetzt 0 ergeben
Dafr verwendest du die pq Formel, besser hier die abc (Mitternachts)-Formel.
Achtung: es gibt zwei Lsungen! die sind dein neues Intervall I [x1;x2]

die beiden Werte setzt du nun in deine Stammfunktion F(x) ein und ziehst die Ergebnisse ab, um den Integral zu kriegen
Es sollte ca. -1.89 rauskommen