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Hier noch einmal erklrt.
Ein Teildreieck in einem regelmigen Fnfeck hat folgende Winkelgren: 72° + 54° + 54°
Aber zur Herleitung wird nich das Fnfeck sondern das Zehneck benutzt. Der Grund ist, dass hier die Winkel, in dem Teildreieck, folgende Gren haben: 36° + 72° + 72°.
Zeichne bitte ein solches Teildreieck auf, am besten so, dass der Winkel von 36° oben liegt.
Die Basis ist die Strecke AB, an den Eckpunkten liegt jeweils ein Winkel von 72° an.
Der Punkt A ist unten links, der Punkt B ist unten rechts und der Punkt C ist die obere Spitze.
Zeichne nun vom Punkt B in einem Winkel von 36° in Richtung der Strecke AC eine Gerade, die dann den Punkt D ergibt.
Das groe Dreieck ist ABC und ist dem kleinem Dreieck ABD hnlich.
Folgende Winkel ergeben sich:
Winkel CAB = Winkel ABC = Winkel BDA = 72°
Winkel BCA = Winkel ABD = Winkel DBC = 36°
Die Strecken AB, BD und DC haben die gleiche Lnge. Wenn man nun die Lnge 1 annimmt, kann man die anderen Lngen ins Verhltnis zu dieser Lnge ermittelt werden. Sollten die Lngen bekannt sein, kann man auch die Winkel berechnen. Die Strecke AD hat die Lnge von x.
lange Seite zu Basis
(x + 1) / 1 = 1 / x
mit x beide Seiten erweitert
x^2 + x = 1
auf beiden Seiten 1 abziehen
x^2 + x - 1 = 0
Quadratische Gleichung lsen:
x1,2 = -1/2 +- Wurzel(1/4 +1)
x1,2 = -1/2 +- Wurzel(5/4)
x1,2 = -1/2 +- Wurzel(5* 1/4)
x1,2 = -1/2 +- 1/2*Wurzel(5)
1/2 ausgeklammert
x1,2 = 1/2 (-1 +- Wurzel(5))
x = 1/2 (Wurzel5 -1)
x kann nicht negativ sein
Die Schenkel haben die Lnge von:
1 + 1/2 (Wurzel(5) -1) = 2/2 + 1/2(Wurzel(5) - 1)
= 1/2 (Wurzel(5) -1 + 2)
= 1/2 (Wurzel(5) +1)
Folgendes gilt nun in dem gleichschenkligen Dreieck:
c = 1
a = b = 1/2 (Wurzel(5) +1)
Danach kann der Kosinus von 72° berechnet werden (Kosinus-Satz).
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos 72°
umgestellt nach cos 72°
cos 72° = (a^2 - b^2 - c^2) / ( -2 * b * c)
cos 72° = -1 / ( -2 * 1/2 * (Wurzel(5) + 1) * 1)
cos 72° = -1 / -(Wurzel(5) + 1)
Zhler und Nenner mit -1 multiplizieren
cos 72° = 1 / (Wurzel(5) + 1)
Den Bruch mit (Wurzel5 - 1) erweitern
cos 72° = (Wurzel(5) - 1) / [ (Wurzel(5) + 1) (Wurzel(5) - 1) ]
cos 72° = (Wurzel(5) - 1) / (5 - 1)
cos 72° = 1/4 (Wurzel(5) - 1)
In Worten geschrieben: Ein Viertel der Differenz von Wurzel aus 5 und 1.
oder
Ein Viertel mal Klammer auf Wurzel aus 5 minus 1 Klammer zu.
Gib es in den Taschenrechner ein und du siehst, dass das Ergebnis stimmt.
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