Kann mir jeder beliebige erklren wie kommt es, dass... der Aufleitung von cos(x)*sin^4(x) = sin^5(x)/5 rauskommt?

Meines Erachtens sollst Du das mit Produktintegration (oder sogenannter partieller Integration) lsen:

Wenn man schon bei der Integralrechnung angelangt ist, spricht allerdings kein vernnftig, also mathematisch denkender Mensch mehr von "Aufleitung", sondern entweder von der Umkehrung der Ableitung oder eben von Integration.

[ cosx sinx ] dx = [ cosx (sinx) ] dx = ...

Nebenrechnungen:
u = cosx
u = sinx

v = (sinx)
v = 4 (sinx) cosx

Produktregel der Integration:
u v = u v - u v

diese Regel angewendet:
[ cosx (sinx) ] dx = sinx (sinx) - [ 4 (sinx) cosx] dx

Rechts musst Du also das Vierfache des links stehenden Terms subtrahieren;
deshalb ADDIEREN wir ihn auf beiden Seiten (und dividieren dann durch 5):

5 [ cosx (sinx) ] dx = sinx (sinx)

[ cosx (sinx) ] dx = 1/5 sinx (sinx) = 0,2 sinx + C


Ich denke allerdings, dass es noch andere Mglichkeiten gibt, wenn man "sieht", dass cosx die Ableitung von sinx ist.

Ja, ich denke, so gehts auch:
Man substituiert sinx z.
Nebenrechnung: dz/dx = cosx dx = 1/cosx dz, was fr dx eingesetzt wird:
[ cosx z 1/cosx ] dz = z dz = 1/5 z + C
Nun muss man natrlich wieder resubstituieren..., dann hast Dus.

Gru

Weil die Ableitung von f(x) = sin^5(x)/5 =
f (x) = 5*1/5 * sin^4(x) * cos(x) ist
(Kettenregel)

Und natrlich hat Ossessinato Recht, wenn er sagt, dass kein ernst zu nehmender Mathematiker von einer "Aufleitung" sprechen wrde.

Und auch den Rest findest Du - wie blich vllig exzellent - bei ihm

Ableitung von sin(x) nach x ist cos(x).

Ableitung von cos(x) nach x ist -sin(x).

Die Vorzeichen in den Ableitungen werden schnell klar bei einer Skizze der Funktionen. Der Sinus steigt, wenn x grer 0 wird. Der Cosinus fllt, wenn x grer 0 wird.

Stammfunktion von sin(x) ist -cos(x).

Stammfunktion von cos(x) ist sin(x).

Die Vorzeichen der Stammfunktionen sind schnell kontrolliert indem sie abgeleitet werden. Es muss wieder das Vorzeichen der integrierten Funktion herauskommen