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Ach, ja....
Das ist wieder mal so eine Frage, wo meine Antwort den Frager nicht befriedigen wird...
Weil:
Hier steht zunchst mal die Frage, was Du unter einem Vektor, was Du unter einem Skalar verstehst.
Keine Ahnung, ob Du Schler oder Student bist, keine Ahnung, wo Du lernst/studierst.Was man unter einem Vektor bzw. unter einem Skalar versteht, setzt nmlich genau DAS voraus, was Du jetzt bewiesen haben willst.
Die Menge der Skalare ist ein Krper, K die Menge der Vektoren V ist eine (abelsche) Gruppe.
Zwischen beiden ist eine multiplikative Verknpfung definiert, die u.a. (in zwei Richtungen) distributiv sein muss.
Nur dann spreche ich davon, dass V ein Vektorraum ber K ist.
In der Schule betrachtet man allerdings meist nur den Vektorraum der Verschiebungen oder Pfeile, in der Physik nur die Menge gerichteter Gren.
(Z.B. Krfte, Geschwwindigkeiten, Beschleunigungen, ...)
In derart konkreten Vektorrumen kann/muss ich dann nachweisen, dass die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor distributiv ist.
Diesen Nachweis muss ich antreten, damit ich davon sprechen kann, dass es sich wirklich um Vektoren handelt.
Und nun przisiere Deine Frage bitte noch einmal und sage genau, WAS Du jetzt unter einem Vektor, was unter einem Skalar verstehen mchtest.
Als Skalar nimmt man MEIST die Menge der reellen Zahlen R.
Und welche Art von Vektoren mchtest Du jetzt konkret betrachten?
(Nur nochmmal ganz exakt: Wenn Du weit, dass es sich um Vektoren handelt, dann musst Du bereits voraussetzen knnen, dass die Multiplikation mit reellen Zahlen distributiv ist. sonst darfst Du diese Bezeichnung gar nicht verwenden)
@carla
Zur Definition des Begriffs "Vektor"
Sei [K; +_K; *_K] ein Krper,
sei [G; +_G] (abelsche) Gruppe
Sei *_KV als multiplikative Verknpfung zwischen den Elementen aus K und G definiert mit:
(1) 1*_KV a = a fr alle aV, wo 1 das neutrale Element bzgl. *_K ist
(2) Fr alle a, b K und alle xG: (a+_K b)*_KV x = a*_KVx +_V b*_KV
(3) Fr alle a K und alle x,y V: a*_KV(x +_V y) = a*KV x +_V a*_KV y
(4) Fr alle a,b K und alle x V: a*_KV ( b*_KV x) = (a*_K b) * x
Dann ist [K;V;+_K; *_K; +_G; +_KV] ein Vektorraum und man nennt die Elemente aus K Skalare und die Elemente aus V Vektoren.
Damit ist NICHTS ber die Natur der Elemente aus V gesagt.
Das knnen - geeignete Verknpfungen vorausgesetzt - geordnete Paare sein, geordnete Tripel oder Quadrupel, ja ganz allgemein geordnete n-Tupel.
Das knnen ganz rationale Funktionen hchstens n-ten Grades sein.
Das knnen die bereits weiter oben erwhnten Pfeile, Verschiebungen, in einem Punkt angreifende Krfte sein...... Wie gesagt, in der Physik spricht man dann von vektoriellen Gren, wenn man ihnen eine Richtung zuordnen kann.
Aber in jedem Fall muss die multiplikative Verknpfung der Elemente aus K und V in beiden Richtungen distributiv sein, sonst ist man nicht berechtigt, von den Elementen aus V als Vektoren zu sprechen.
@carla
Stimmt!
Vektoren sind einfach nur Elemente des Vektorraums (ber einem Krper, meist dem Krper der Reellen Zahlen, muss aber nicht. Zum Beispiel tte es der Krper der rationalen Zahlen auch, es ginge jedoch auch mit endlichen Krpern.)
Der kleinst-mgliche Vektorraum wre der folgende:
K = 0; 1 V = ->0
Verknpfungen:
+_K: (im Folgenden lasse ich jetzt die Indizee am Pluszeichen weg)
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0
*_K\\0: (im Folgenden wieder ohne Index)
1 * 1 = 1
*_KV:
1*->0 = ->0
0*_->0 = ->0
Mit dieser Definition lsst sich nun leicht zeigen, dass alle Forderungen erfllt sind.
Den Begriff auf Pfeile zu beschrnken erschwert einem interessierten Lerner den Zugang zum Vektorbegriff. Ich wei aber, dass das in Lehrbchern verschiedener Bundeslnder genau so gemacht wird.
@carla
oki
Schn, dass Du auch noch anfhrst, dass R ber R Vektorraum sein kann. Ebenso ist Q ber Q Vektorraum.
Knobelfrage:
Ist R ber Q Vektorraum?
Ist Q ber R Vektorraum?
@Halbvektorraum kenne ich nur als Vektorraum ber einem Halbkrper.
Aber da bin ich nicht sicher.
Ich habe mal ber Algebren im dnischen Sprachgebrauch gearbeitet. Aber da gab es diesen Begriff berhaupt nicht.
Also muss ich da passen.
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