Schreibe bald eine Matheklausur
Thema wird sein ganzrationale funktionen
symmetrie bestimmen, verhalten gegen + / - unendlich usw.

hab hier zB die Funktion f(x)= -x^4 +x^3 +4x^2 -4x
Wie muss ich jetzt vorgehen um diese funktion skizzieren zu knnen ?
ich wei es nmlich gar nicht..

& noch eine frage : wie kann man die Symmetrie rechnerisch bestimmen ?
wir hatten mal das hier :
f(-x)= f(x)
" = -f(x)

aber wei halt nicht wofr das da ist und was man damit macht
ich bitte um eure Hilfe..ist sehr wichtig !!
danke im Voraus :-)

1. Nullstellen mittels Ausklammern und Polynomdivision und dann P-Q-Formel berechnen.

2. Extrema und Wendepunkte ausrechnen (1. bzw. 2. ABleitung = Null...)

3. Skizzieren


Und bei der Symmetrie einfach die entsprechenden Bedingungen einsetzen und gucken ob die Gleichung stimmt.

f(-x)= f(x) wenn das fr alle x erwiesen ist, ist der Graph symmetrisch zur y-achse.


f(-x) = -f(x) wenn das fr alle x erwiesen ist, ist der Graph drehsymmetisch (180°) bezglich (0;0).

Es gibt 2 verschiedene Symmetriearten - einmal die Punktsymmetrie und einmal die Achsensymmetrie.

Zunchst Punktsymmetrie: eine Funktion ist dann punktsymmetrisch, wenn der negative Funktionswert - f(x) gleich dem Funktionswert des negativen Argumentes f(-x) ist.
Also in Formel: - f(x) = f(-x)
Was heit das? Ganz einfach - dass eine Funktion beim Einsetzen von plus/minus x auch einen betragsmig gleichen y-Wert ausliefert.

Zum Beispiel die Funktion f(x) = 4x
Wir prfen mal, ob die Funktion an der Stelle x=2 punktsymmetrisch ist
Also brauchen wir einmal -f(x=2) und f(x=-2)
> - f(x=2) = - [4*2] = -32
> f(x=-2) = 4*(-2) = -32
Und schon siehst du, dass die Werte gleich sind und damit hast du gezeigt, dass die Funktion bei x = 2 punktsymmetrisch ist.

Bei Wikipedia ist das Beispiel 2x^5 - hier ist einmal der Graph dazu ( http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/8/8f/Graph2xE5.svg/666px-Graph2xE5.svg.png ) zur Veranschaulichung, damit du mal in etwa erkennst, was punktsymmetrisches Verhalten im Bild bedeutet.


Achsensymmetrie ist ziemlich dasselbe Verfahren - dies lsst sich auch besser erklren. Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn es einen Punkt x gibt, durch den man quasi eine Vertikale legt. Nun msste der Graph so aussehen, als httest du einen Spiegel hineingestellt. Auch hier einmal der Graph aus Wikipedia ( http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/3/38/ASyFktGraph.svg/800px-ASyFktGraph.svg.png )

Die Berechnung ist hnlich:

es muss gelten: f(-x) = f(x)
Zum Beispiel die Cosinusfunktion ist so eine Funktion, da cos (180°) = cos (-180°) = -1
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Das zur Symmetrie. Jetzt nur zur ersten Frage, wie du einen Graphen zeichnest - nun ich hab leider nicht mehr viel Platz zum Schreiben, daher stelle ich dir die wesentlichen Schritte in Stichpunktform dar:

1. Nullstellen bestimmen und markieren (damit hast du die ersten Punkte)
2. Ggf. Polstellen bestimmen (hast du aber nur bei Funktionen mit eingeschrnktem Definitionsbereich, wie zb. gebrochenrationale Funktionen)
3.f(x=0) bestimmen (y-Achsenabschnitt - schon hast du einen nchsten Punkt)
4. Verhalten an den Definitionslcken sowie gegen bestimmen (damit du weit, ob die Funktion irgendwohin konvergiert oder ob sie divergiert und)
5. Extremwerte bestimmen f(x) = 0 und f(x) 0 sowie zugehrige f(x,max/min)-Werte (viele neue Punkte)
6. Wendestellen bestimmen f(x) = 0 und f(x) 0, sowie zugehrige f(x,wendepunkt)-Werte

Nun hast du eigentlich fast alle charakteristischen Werte um die Funktion aufskizzieren zu knnen - zwischen diesen Werten wird zeichnerisch interpoliert.

Weiteres und Beispiele kannst du auch dem ausfhrlichen Text bei Wikipedia entnehmen (Kurvendiskussion: http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion )