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Wie wird die Wurzel aus k gezogen?
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Autor:  LEhrlichmann [ Sa 14. Jan 2012, 15:53 ]
Betreff des Beitrags:  Wie wird die Wurzel aus k gezogen?
Hallo allerseits. Ich habe ein echtes Problem. Ich will die Ortskurve eines Wendepunktes berechnen, wei aber nicht wie ich die Wurzel nehmen soll.Folgende Funktion 2. Grades:
fk(x)=12x-2k l +2k
12x=2k l :12
x=2/12k =>1/6k --->x1= Wurzel1/6k und x2= -Wurzel1/6k
Ist das berhaupt richtig oder kommt Wurzel aus k/6 hin ?
Kann mir bitte jemand den y-Wert damit berechnen ? fk(x)=x^4-kx
Und aus Extrema habe ich ausgerechnet:
fk(x)= 4x-2kx
= x(4x-2k)
= 4x-2k l +2k
2k = 4x l : 4
Wie ziehe ich da jetzt die Wurzel? Ich habe im Taschenrechner einfach die Wurzel von 0,5 eingegeben und 0,71...k;-0,71...k rausgekriegt. Oder muss ich stattdessen Wurzel aus k/2 rechnen ? Bitte sofort richtig ausrechnen,wenns geht mit Erklrung.
Vielen Dank im Voraus
Autor:  ETrommler [ Mi 8. Feb 2012, 06:50 ]
Betreff des Beitrags:  Wie wird die Wurzel aus k gezogen?
Du hast Dir sehr viel Mhe gegeben, die Aufgabe aufzuschreiben und Deine Frage(n) unterzubringen.
Jetzt habe ich mir die wichtigsten Rechenschritte herausgesucht und so notiert
(den Parameter k lasse ich hier mal bei fk(x) weg, weil er sich nicht als Index schreiben lsst und das Ganze dadurch schwer leserlich wird);
auch sei k0:

f(x)=x - kx= x(x-k) symmetrisch zur y-Achse, weil f(x) = f(-x) fr alle x gilt
f(x)= 4 x - 2kx = x(4x-2k)
f(x) = 12 x - 2k
f(x) = 24 x

Nullstellen:
x=0 sowie x = k
Fr k<0 gibt es keine Nullstellen, fr k=0 nur eine, denn dann wre f(x) = x.

Extrema: ( 0 0 ) sowie ( (k) - k )
Hier schon Fallunterscheidung:
k>0 MAX( 0 0 ) und - logischerweise - die anderen beiden MIN
k<0 MIN( 0 0 ) und keine weiteren Extrema

Wendepunkte:
W( [(1/6)k] -5/36 k ) fr k>0 tatschlich zwei Wendepunkte
Fr k<0 gibt es keine Wendepunkte; fr k=0 vgl. Bemerkung bei Nullstellen.

ORTSKURVE der Wendepunkte? Hier das Vorgehen ALLGEMEIN:
Du hast die Koordinaten des Wendepunktes / der Wendepunkte in Abhngigkeit von k:
xk = . . .
yk = . . .
Um die Ortskurve zu finden, musst Du diese beiden Gleichungen als Gleichungssystem behandeln und lediglich den Parameter k eliminieren; dann stellst Du die Gleichung nach y= ... um.

Nun KONKRET (bei der Aufgabe also nur sinnvoll fr k>0):

Hier zunchst die Rechnungen fr "Wendepunkt 1" (Index k fr die Koordinaten aus Grnden der bersichtlichkeit hier wieder weggelassen):
x = + [(1/6)k]
y = - 5/36 k
Aus folgt x = 1/6k bzw. k = 6x, was wir in einsetzen und erhalten:
y = -5/36 36x = -5x

Fr den "Wendepunkt 2" mit x = - [(1/6)k] und y = - 5/36 k analoge Rechnungen ausgefhrt, bringen (wegen des Quadrierens) dasselbe Ergebnis.

Die Frage nach den Wendepunkten bzw. ihrer Ortskurve ist also nur sinnvoll fr k>0.

Stellst Du einige Elemente der Kurvenschar (fr k>0) grafisch dar, erhltst Du nur "W-Formen" mit dem lokalen MAX in (00) und jeweils zwei zur y-Achse symmetrisch liegenden MIN im III. und IV. Quadranten. Zwischen dem MAX und dem jeweiligen MIN findest Du - bei all diesen Kurven - je einen Wendepunkt (im III. bzw. IV. Quadranten). Diese Wendepunkte liegen ALLE auf der Potenzfunktion y = -5x, einer gestreckten und nach unten geffneten Parabel.
Autor:  UUnger [ Do 9. Feb 2012, 20:11 ]
Betreff des Beitrags:  Wie wird die Wurzel aus k gezogen?
Wendepunkte:

x1= Wurzel1/6k und x2= -Wurzel1/6k
Das ist soweit richtig. Hier musst du 3 Flle unterscheiden:

1. k ist grer als 0. Dann gibt es fr x1 und x2 reelle Lsungen. 2 Wendepunkte.
2. k =0. Dann ist x1 = x2 = Wurzel(0) = 0. Nur eine Lsung. Ein Wendepunkt.
berprfung des Wendepunktes mit der 3. Ableitung: fk(x) muss ungleich 0 sein an dem Wendepunkt.
fk(x)=24x
fk(0)=0
Dieser "Wendepunkt" ist eigentlich keiner.
3. k ist kleiner als 0. Dann bleibt die Lsungsmenge leer. Keine Wendepunkte.


Kann mir bitte jemand den y-Wert damit berechnen?

fk(x)=x^4-kx
x = Wurzel(k/6)
y = Wurzel(k/6)^4 -k * Wurzel(k/6)^2
y = (k/6) - k * (k/6)
y = k/36 - 6k/36
y = -5k/36

Da die Funktion spiegelsymmetrisch ist, gilt dies fr x1 und x2.







Extrema:

Ein Extremum hast du unterschlagen. Es liegt bei x=0, Koordinaten ( 0 0 ).

2k = 4x l : 4
0,5k = x

0,5k = k/2.
k muss selbstverstndlich mit in die Wurzel.

Die Lsungen sind: x1 = Wurzel(k/2) = 0,707 * Wurzel(k)
und x2 = -Wurzel(k/2) = -0,707 * Wurzel(k)
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