Es geht um konkave und konvexe Funktionen, inbesondere das hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

Da wird im ersten Satz eine Ungleichung dargestellt. Ich habe mir mal die Grafik hierzu angeschaut. Was hat das t (manchmal wird es auch als h oder als Lamda dargestellt) zu bedeuten und warum muss es zwischen 0-1 sein? Und wieso muss es (1-t)y sein? das mit t*x ist irgendwie klar, aber dann noch (1-t)*y?

f(t*x+(1-t)*y) t*f(x)+(1-t)*f(y); t[0;1]

Mit t*a + (1-t)*b, t[0;1] kann man das
Intervall [a;b] als Term schreiben. Vielleicht
hattest Du schon Geradengleichungen im
Raum (Klasse 12). Setzt man dort fr den
Parameter 0 ein, so erhlt man einen Punkt
auf der Geraden, setzt man hingegen 1 ein
erhlt man einen anderen Punkt auf der Geraden.
Fr t zwischen 0 und 1 ergeben sich alle Punkte
zwischen den beiden erstgenannten.

Nun sind f(t*x+(1-t)*y) alle Funktionswerte der
Funktion f ber dem Intervall [x;y] auf der x-Achse.

Die rechte Seite stellt analog das Intervall
[f(x);f(y)] auf der y-Achse dar.

Die Ungleichung
f(t*x+(1-t)*y) t*f(x)+(1-t)*f(y); t[0;1]
besagt nun, dass bei einer konvexen Funktion
(Linkskurve) die geradlinige Verbindung zweier
beliebiger Punkte auf der Funktion stets
oberhalb der Funktion selbst liegen.

Also: t*f(x)+(1-t)*f(y) ist eine Gleichung fr die
geradlinige Verbindung zweier Punkte P(x;f(x)) und
Q(y;f(y)), die auf der Funktion liegen,
f(t*x+(1-t)*y) hingegen stellt den Funktionsbogen
zwischen P und Q dar.
Ungleichung besagt: Funktion konvex genau dann,
wenn Funktionsbogen zwischen P und Q unterhalb
der geradlinigen Verbindung zwischen P und Q.

Analysis: Konkav/Konvex -was hat das Lamda zu bedeuten?

Hallo!


Konvexe Funktionen (zum Beispiel f(x) = x = y einfache Funktion , f:R->R) gengen dieser Ungleichung.

Es gilt fr alle a,b R mit Intervall = [a,b] und t [0,1]
f( ta + (1 - t)b ) tf(a) + (1 - t)f(b)
<=> [ta + (1 - t)b] ta + (1 - t)b
<=> f(x) = x konvex

Die Funktionsstelle x = ta + (1 - t)b ...ist hier nur aus R und [a,b] ist nur ein Intervall.


Ich habe mal mit Absicht nicht x und y verwendet, (sondern a,b), denn diese Ungleichung gilt natrlich nicht nur fr ein Intervall, sondern auch fr eine konvexe Teilmenge aus einem reellen Vektorraum. Ich gehe mal davon aus, dass Du neben Analysis auch lin. Algebra studierst und weit, was ein reeller Vektorraum ist.
x und y seien Vektoren (z.B. aus R). Und jetzt schau Dir das Funktionsargument/-stelle auf der linken Seite mal an:
ta + (1 - t)b <----> tx + (1 - t)y ; wohlgemerkt x,y sind Vektoren

Hier hast Du jetzt eine Abbildung f: R -> R

Lin.Algebra
Geraden im Raum : Eine Parameterdarstellung ist z.B. die Punkt-Richtungs-Form
Aufpunkt + Parameter*Richtung ....oder anders
Ortsvektor + Parameter*Richtungsvektor
Beispiel: x,y aus R, t ist Parameter
g: x + ty

Eine weitere Parameterdarstellung ist die Zwei-Punkte-Form
g: tx + (1 - t)y

Falls Du den Unterschied dieser beiden Parameterdarstellungen nicht kennst, kannst Du ja mal in dieser Frage, (die ich vor geraumer Zeit beantwortet hatte), reinschauen. Hier fragt (vermutlich) ein/e Schler/in, ob ein bestimmter Punkt P (im R) auf einer Geraden/bzw. Strecke(QA) ( im R) liegt. berprfen kann man das mit der Zwei-Punkte-Form (weiter unten in meiner Antwort).
http://de.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=Ara6PfAB..4fBUV17p54x8IJCgx.;_ylv=3?qid=20110525040118AA0bE7R
Dieser Link von Wikipedia knnte Dir zum Verstndnis fr die Konvexitt auch weiterhelfen: Konvexe Menge,
konvexe Teilmenge eines reellen Vektorraums (Def.-Menge von f), also kein Intervall [a,b] aus R)
Scroll mal rauf und runter
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge#Definition_f.C3.BCr_Vektorr.C3.A4ume


Konvexe Funktionen spielen in der Optimierung eine sehr groe Rolle. Diese Ungleichung ist u.a. auch ein Hilfsmittel zur berprfung der Konvexitt einer Funktion. Und man betrachtet nicht nur die einfachen Funktionen, wie x , die man aus der Schule kennt, sondern v.a. vektorwertige Abbildungen, z.B. f(x,y) = x + y - 1<---Das war jetzt auch nur ein einfaches Beispiel einer vektorwertigen Abbildung f:R->R,
aber eben keine einfache Funktion f(x) = y.


Gru