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anspruchsvolle Matheaufgabe?
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Autor:  Viveka-K [ Di 11. Okt 2011, 18:29 ]
Betreff des Beitrags:  anspruchsvolle Matheaufgabe?
Ich wei zwar, wie die Lsung sein muss (also durch logisches berlegen) , aber ich htte gern einen Rechenweg!

Wir haben 10Kugeln: 5 Weie und 5 Rote
und dazu 2 Urnen. Wir knnen die Kugeln beliebig auf beide Urnen aufteilen (also z.B. je 5 in beide, aber auch in die eine 6 und die andere 4)
jetzt geht es darum die Kugeln so zu verteilen, dass die wahrscheinlichkeit eine rote kugel zu ziehen am hchsten [bzw. kleinsten] ist. man bedenke, dass man vorher nicht wei aus welcher Urne man zieht.

wie kann ich das denn nun mathematisch berechnen?
Autor:  StromA [ Mi 26. Okt 2011, 01:24 ]
Betreff des Beitrags:  anspruchsvolle Matheaufgabe?
Leg doch 1 rote in die erste Urne. die brigebleibenden (4 rote und 5 weisse) Kugeln kommen in die zweite.Urne.

Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen betrgt:

0.5 * 1 + 0.5 * (4/9) = 13/18. ( = max)

frs minimum entsprechend,
Autor:  dopyim [ So 15. Jan 2012, 09:24 ]
Betreff des Beitrags:  anspruchsvolle Matheaufgabe?
hmm also prinzipiell ist ossessinatos ansatz schon richtig so, aber du willst ja einen rechenweg und nicht einfach probieren oder?

wir beginen erstmal bei der Gleichung fr P(r)
indem wir uns vorstellen r sei die anzahl der roten kugeln in der ersten urne und w die anzahl der weien kugeln in der ersten urne.
dementsprechend sind in der anderen urne 5-r und 5-w

P(r) = 0,5 (r/(r+w)) + (5-r)/(10-r-w))

da es hier um ein maximum geht leiten wir diese funktion ab. theoretisch knnte man sich die mhe machen und diese als Ebengleichung ableiten, aber mir scheint es einfacher diese als Funktionsschar abzuleiten indem man eine variable als nicht-funktionsvariable festlegt.

damit htte man:
P(r) = (w-5)/(2(r+w-10)) + w/(2(r+w))

ein Maximum (bzw. Minimum) bestimmt man jetzt mit der 0-Gleichsetzung:
P(r)=0

da wir 2 variablen haben, haben wir damit eine Maximumschar die wir jetzt nun vergleichen mssen.
da wir nicht ausprobieren, sondern rechnen wollen, stellen wir durch auflsen nach w eine Bedingung bzw. eine Abhngigkeit zwischen r und w her, um das Maximum unter den Maxima zu finden. so haben wir nmlcih wieder nur eine Variable ;)
den term schreib ich dir mal nicht auf... der ist ein wenig unbersichtlich..

danach knnen wir nun wieder nach P(r)=0 , r=? auflsen und erhalten ein konkretes ergebnis.

und zwar:
r = 1 und w = 0
r = 4 und w = 5
[bzw. noch 2 weitere fr die Minima]

was so viel bedeutet wie: in die erste urne kommt eine rote kugel und die andere urne der rest.
P(r) = 0,5 * 1 + 0,5 * 4/9 = 72,22%
q.e.d. :9

ich geb zu ohne graphentaschenrechner wre ich auch hilflos gewesen, aber so reicht es ja den ansatz zu kennen ;)
Autor:  LewisS [ Mi 25. Jan 2012, 12:11 ]
Betreff des Beitrags:  anspruchsvolle Matheaufgabe?
Wie ich mich kenne habe ch es wohl falsch gelst, probiere es aber trotzdem.

In beiden Urnen wrde ich jeweils 5 Kugeln rein machen, in der einen 5 rote und in der anderen 5 Weie, so ist die liegt die Wahrscheinlichkeit bei einer zu 100% eine rote Kugel raus zu nehmen und bei der anderen berhaupt nicht.
Autor:  eadfeb [ Di 15. Apr 2014, 18:08 ]
Betreff des Beitrags:  anspruchsvolle Matheaufgabe?
Eine hnliche Aufgabe kenne ich, bei der man durch "bloes Nachdenken" darauf kommen kann oder sollte, dass in der einen Urne NUR DIE GEWNSCHTE Kugel ist, also z. B. 1 rote, wenn P(R) maximal werden soll.
Du fragtest nach einem rechnerischen Weg, und ich habe etwas gegrbelt...

Du kennst sicherlich das Baumdiagramm [erste Stufe mit P(Urne1)=P(Urne2)=0,5 und zweite Stufe mit jeweils P(R) bzw. P(W) als "Ausgang"]. Die Wahrscheinlichkeit, sich fr eine der beiden Urnen zu entscheiden, betrgt jeweils 0,5.

Nehmen wir an, wir wollen P(R) maximal haben.
Dann wrde sich - nach den Pfadregeln - die Wahrscheinlichkeit dafr so berechnen:
P(R) = 0,5 P(R links) + 0,5 P(R rechts)

Fr das Maximum sollte der Faktor 0,5 unwesentlich sein, so dass wir nur die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten fr R in der zweiten Stufe maximal werden lassen mssen. (Dadurch kann der von uns erhaltene Wert fr die Wahrscheinlichkeit bis maximal 2 gehen.)

Seien r und w die Anzahl der roten bzw. weien Kugeln in U,
dann sind (5-r) + (5-w) Kugeln in U.
Die Anzahlen der Kugeln ergeben sich wie folgt (mit r,w 5 ):
in U sind (r+w)
in U sind (10-r-w)

Die Wahrscheinlichkeiten fr ROT (also nur die zweite Stufe):
P(R) in U = r : (r+w)
P(R) in U = (5-r) : (10-r-w)

Die totale Wahrscheinlichkeit der roten Kugeln ist also die Summe (bzw. ):
r . . . . . (5-r)
--------- + ------------ =
(r+w) . . .(10-r-w)

r (10-r-w) + (5-r) (r+w)
--------------------------------- =
(r+w) (10-r-w)

... nun sind verschiedene Umformungen mglich ...(und ggf. Fehler)
Ich habe z. B. folgende erhalten:

-2r (r-w) + 5 (3r+w)
------------------------------ =
10 (r+w) - ( r+w )

-2r (r-w) + 5 (3r+w)
------------------------------
(r+w) [ 10 - ( r+w ) ]

Dieser Bruch soll nun z. B. ein Maximum erreichen. Da hier noch ZWEI Variable enthalten sind, die unabhngig voneinander sind, von denen man also nur wei, dass sie die Werte 0, 1, 2, 3, 4, 5 annehmen knnen, muss man probieren, den Nenner mglichst klein und den Zhler mglichst gro zu bekommen.

Dabei verbietet sich wohl, r=w=0 anzunehmen, also ALLE Kugeln IN NUR EINE URNE zu legen. (Die Wahrscheinlichkeit fr ROT wre 0 + = = 25%.

Fr den Nenner z. B. knntest Du nun eine Tabelle anlegen, in der Du r und w variierst und in Abhngigkeit davon betrachtest, wie sich der Zhler verndert. Da es hier eine (kleine) abzhlbare Menge ist, knnte man alle Flle durchprobieren (Methode des systematischen Probierens).

r . . w . . 10-(r+w) . . . Nenner . . . . Zhler . . Quotient . . . P(R), also
------------------------------ ---------------------- ---------------------- ------------------- -----------------------
1 . . .0 . . .9 . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . .13/9 1,44... . . . . 0,722...
1. . . 1 . . . 8 . . . . . . . . 16 . . . . . . . . . . . 20 . . . . . 20/16 = 1,25 . . . . . 0,625
. . .
1. . . 5 . . . 4 . . . . . . . . 24 . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
5 . . 5 .. . . entfllt ebenso wie r=w=0

Bevor Du dieses (zeitaufwndige) Verfahren beginnst, solltest Du aber noch einmal prfen, ob sich nicht irgendwo ein logischer (schlimmer) oder rechnerischer (weniger schlimmer) Fehler eingeschlichen hat.

Viel Erfolg bei Deinen Bemhungen, den Dingen auf den Grund zu gehen!
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