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Berechnung von Schiffspositionen auf zwei sich schneidenden
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Autor:  SPabst [ Mi 7. Mär 2012, 15:18 ]
Betreff des Beitrags:  Berechnung von Schiffspositionen auf zwei sich schneidenden
Berechnung von Schiffspositionen auf zwei sich schneidenden Geraden?

Die Routen zweier Fhren(F1,F2) kreuzen sich.
F1 fhrt fhrt in 40 Minuten von A(164) zu B(1220).
F2 fhrt mit 25 km/h von C(40) zu D(2415)

Fragen: 1.) Wo befindet sich F1 eine halbe Stunde nach Verlassen des Ortes A?
_______2.) Beide Fhren fahren gleichzeitig von A, bzw. C los. Wie viele Minuten danach kommen sich die beiden Fhren am nchsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Autor:  EBeike [ Do 12. Apr 2012, 11:41 ]
Betreff des Beitrags:  Berechnung von Schiffspositionen auf zwei sich schneidenden
A(16 4) B( 12 20) => -> [AB] = ( - 4 ; 16)
C( 4 0) D( 24 15) => -> [CD] = ( 20 ; 15)

F1: ( x ; y) = (16 ; 4) + r ( - 4 ; 16)
F2: ( x ; y) = ( 4 ; 0) + s ( 20 ; 15)

Die Richtungsvektoren sind nicht parallel zueinander, also MSSEN sich die beiden Geraden schneiden (windschiefe Geraden gibt es in der Ebene nicht)

Das fhrt hier zu dem Gleichungssystem:
(I) 16 - 4r = 4 + 20 s
(II) 4 + 16 r = 15 s

Wenn die Parameter r und s positiv und kleiner als 1 sind, schneiden sich die Fahrtrouten der beiden Fhren. (Es geht um die Strecken [AB] und [ CD], nicht einfach um die Geraden AB und CD )

Die Lsung des Gleichungssystems fhrt zu:
s = 52/95
r = 5/19

Der Schnittpunkt S ist S( 284/19 156/19) = (15 8,2) (ca.)

Aber die Schiffe erreichen S nicht gleichzeitig.

Die Entfernung von A nach B ist [ AB] = ( 16 + 16) = ( 16 * 17) = 4(17)
Dafr braucht F1 40 Minuten, also 2/3 Stunde.
Seine Geschwindigkeit ist also v = 4(17) : (2/3) = 6(17) (in km/h)
v = 24,74 km/h (ca)
Also haben beide Fhren in etwa die gleiche Geschwindigkeit von 25 km/h

Der Einheitsvektor in Richtung A -> B ist
1/[AB] * ( - 4 16) = 1/(16*17) * ( - 4 16) = 17 / 68 * ( - 4 16)

Also ist F1 nach 1/2 Stunde in:
A + 1/2 * v * 17 / 68 * ( - 4 16) =
(16; 4) + 1/2 * 25 * 17 / 68 * ( - 4 16) = ( 12,8 16,1)

Damit hat F1 den Routenschnittpunkt bereits passiert.

2.
Der Einheitsvektor in Richtung C -> D ist
1/25 * ( 20 15)

Da beide Geschwindigkeiten etwa v = 25 km/h betragen, ist die Gleichung fr die Position der Schiffe in Abhngigkeit von der Zeit:
F1 = ( 16 4) + 25 * 17 / 68 * ( - 4 16) * t
F2 = (4 0) + 25 * 1/25 * (20 15) * t

Mit Hilfe des Lehrsatzes des Pythagoras lsst sich nun der Abstand beider Schiffe in Abhngigkeit von der Zeit t als einstellige Funktion darstellen und ber die Differenzialrechnung das minimum bestimmen.
(ist mir im Moment aber zu aufwndig)
Viel Spa beim weiteren Arbeiten; vielleicht mache ich heute Abend noch weiter.
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