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Hallo Laura123,
du bittest um Hilfe. Ich knnte dir hier die Lsungen posten, aber damit wre dir nur sehr kurzfristig geholfen - bis zur nchsten Mathestunde, um genau zu sein.
Es hilft dir wesentlich mehr, wenn du verstehst, wie dieser Aufgabentyp zu lsen ist, dann hast du nicht nur die Lsungen fr diese vier Aufgaben, sondern kannst auch alle anderen Aufgaben lsen! :-D
Im Grunde ist die Idee hinter dem Additionsverfahren ganz simpel: Die zwei Gleichungen werden so addiert, dass eine Variable rausfllt; dann kann man leicht nach der anderen auflsen. Die so berechnete Variable setzt man dann in eine der Gleichungen ein (welche ist egal) und rechnet die andere aus.
Die Kunst ist lediglich, die zwei Gleichungen so zu bearbeiten, dass eine Variable rausfllt.
In deinem Fall sind schon alle Variablen zusammengefasst. Jetzt musst du die Gleichungen nur noch so erweitern, dass der Betrag derjenigen Variable, die rausfallen soll, gleich gro wird. Stehen die Variablen auf derselben Seite, so mssen die Vorzeichen entgegengesetzt sein, um sich bei Addition aufzuheben. Stehen die Variablen auf verschiedenen Seiten, dann mssen die Vorzeichen gleich sein.
In deinen Beispielen stehen alle Variablen auf der linken Seite, also mssen die Vorzeichen entgegengesetzt sein.
Jetzt muss man nur geschickt erweitern.
Prinzipiell gibt es unendlich viele Mglichkeiten. Ich rechne dir fr das erste Beispiel einige Varianten vor.
Wenn man das x rausschmeien will, knnte man z.B. die erste Gleichung mit dem Faktor -3/4 multiplizieren, dann wird aus 4x ein -3x und verschwindet bei Addition des 3x aus der zweiten Gleichung. Die erste Gleichung sieht dann so aus:
-3 x + 9/4 y = -111/4
Analog kann man stattdessen die zweite Gleichung um den Faktor -4/3 erweitern:
-4 x + 16/3 y = -20/3
Addiert man diese Gleichung zur ersten, hebt sich 4x und -4x weg.
Wenn man keinen Bock auf Brche hat, kann man auch beide Gleichungen multiplizieren, und zwar jeweils mit dem Faktor, der bei der anderen Gleichung vor der entsprechenden Variablen steht; einer der Faktoren muss aber das entgegengesetzte Vorzeichen haben. Hier bedeutet das, dass die erste Gleichung mit 3 und die zweite Gleichung mit -4 erweitert wird (oder die erste mit -3 und die zweite mit +4).
Das sieht dann so aus:
(1) 12 x - 9 y = 111
(2) -12 x + 16 y = -20
Diese ganzen Spielchen kann man auch fr das y machen.
Die ersten Zeile wird dann z.B. zu: -16/3 x + 4 y = -148/3 [Faktor -4/3]
Oder es wird die zweite Zeile zu: -9/4 x + 3 y = -15/4 [Faktor -3/4]
Oder man bearbeitet beide Gleichungen gleichzeitig:
(1) -16 x + 12 y = - 148 [Faktor -4]
(2) 9 x - 12 y = 15 [Faktor +3]
Das schne ist: In allen Fllen kommt immer dasselbe Ergebnis heraus! :-)
Nehmen wir die allerletzte Version. Hier addieren wir jeweils die linken und rechten Seiten (so wird das beim Additionsverfahren immer gemacht):
(1) -16 x + 12 y = - 148
(2) 9 x - 12 y = 15
(1) + (2):
(-16x + 9x) + (12y - 12y) = (-148 + 15)
-7 x + 0 = -133
x = (-133) / (-7)
x = 19
Das setzt man jetzt in eine der ursprnglichen Gleichungen ein.
entweder: -16 * 19 + 12 y = - 148 --> y = (304 - 148) / 12 = 13
oder: 9 *19 - 12 y = 15 --> y = (15 - 171) / (-12) = 13
Das Ergebnis ist also immer x=19 und y=13.
Nach diesem Schema kannst du auch die restlichen Gleichungssysteme lsen.
Viel Erfolg!
Zac
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