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| Wahrscheinlichkeit: Mnzwurf? http://deutsch-forum.xbws.org/viewtopic.php?f=7&t=19776 |
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| Autor: | ipituuqoif [ Do 9. Feb 2012, 12:05 ] |
| Betreff des Beitrags: | Wahrscheinlichkeit: Mnzwurf? |
Eine faire Mnze wird 12x geworfen d.h. es gibt 2^12 Kombinationsmglichkeiten allgemein gesucht ist die Wkeit fr gleiche Anzahl Kopf und Zahl d.h. insgesamt 6 von 12 Kopf und restliche 6 Zahl. Reihenfolge ist dabei egal - kopf und zahl sollen nur in einer gleichen anzahl auftreten. Dass ich die Wkeit ausrechne indem ich die Anzahl solcher Kombintionsmglichkeiten von 6 Kopf und 6 Zahl durch die Anzahl der Gesamtmglichkeiten dividieren muss ist mir klar. Doch wie rechne ich die Anzahl der Kombinationsmglichkeiten aus? Bei 3,4,5 Wrfen knnte man sich das noch aufschreiben - Gibt es einen Trick oder eine logische berlegung wie man darauf kommt? Habe damit stets Probleme wie auch bei Wrfeln zB. wenn ein Wrfel 10x geworfen wird und eine bestimmte Anzahl der einen Zahl und eine bestimmte Zahl einer anderen Zahl kombiniert werden sollen. Wre echt super, wenn jemand ein Tipp htte. Danke euch im Voraus. Zu Antwort 1: 12ber2 sollen jetzt alle mglichkeiten sein oder wie? Also ich meine dass bei 12 Stellen und 2 Ziffern es mehr mglichkeiten gibt diese zu kombinieren. 12ber2 wre die Anzahl der Mglichkeiten, 2 Objekte aus 12 auszuwhlen. Da ich 12 mal wrfele, habe ich ja keine 2 Objekte und schon mal keine 12 Mglichkeiten. Gesamtmglichkeiten sind also 2^12 - das ist schon mal richtig. Ich suche ja die Wkeit dafr, 6x Kopf und 6x Zahl zu wrfeln - egal in welcher Reihenfolge. Da erscheint mir Antwort 2 mit 12ber6 logischer. Vielen Dank an Tom. Durch was dividiere ich denn, wenn ich die Wkeit dafr suche, dass ERST 6x Kopf und Dann 6x Zahl kommt. Von dieser Kombination gibt es ja nur 1. Teile ich dann 1 / 2^12 oder 1 / 12ber6 ??? Danke nochmals |
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| Autor: | GalianaG [ Di 17. Apr 2012, 06:24 ] |
| Betreff des Beitrags: | Wahrscheinlichkeit: Mnzwurf? |
Die Antwort findest Du beim Binomialkoeffizienten: "Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lsen lsst. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswhlen kann (ohne Zurcklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge)." n ist hier gleich 12 (Anzahl der Wrfe) und k ist gleich 2 (Anzahl der Mglichkeiten bei einem Wurf). "12 ber 2" ist hier gleich 66. |
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| Autor: | xx_aajaxc_xx [ Mi 25. Apr 2012, 04:22 ] |
| Betreff des Beitrags: | Wahrscheinlichkeit: Mnzwurf? |
Hallo! Mich wundert es, dass es hier offensichtlich jemanden gibt, dem Toms Antwort nicht gefllt. Dabei ist sie doch vllig korrekt. Und Tom weist sogar auf die Binomialverteilung hin, die einer der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Stochastik/Wahrscheinlichkeitstheorie berhaupt ist. Mm, ...aber gut. http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung "...Dass ich die Weit ausrechne indem ich die Anzahl solcher Kombintionsmglichkeiten von 6 Kopf und 6 Zahl durch die Anzahl der Gesamtmglichkeiten dividieren muss ist mir klar..." Ja, das ist richtig... Zunchst einmal gilt der Mnzwurf als "gleichverteilt" (Laplace-Verteilung). Klar. Die Kombinationsmglichkeiten berechnet man, wie schon erwhnt, mit dem Binominialkoeffizienten (12 ber 6).........(12 ber 6) ............1^12 --------------- = -------------------- *-------------- = (12 ber 6) * (1/2)^12 ......2^12...................1......... ............2^12 = (12 ber 6) * (0,5)^12 = (12 ber 6) * (0,5)^6 * (0,5)^6 Und diese Binomialverteilung, (wie dieser Binominialkoeffizient berhaupt entsteht) kann wirklich sehr schn am Galtonbrett veranschaulicht werden. http://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett bzw. mathematische Betrachtung http://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett#Mathematische_Betrachtung Es lohnt, sich das mal durch zu lesen, um zu verstehen, was die Binomialverteilungsfunktion B(k p,n) = (n ber k) * p^k * (1 - p)^(n - k) berhaupt bedeutet p ist die Erfolgs-W.keit, die mit der Anzahl der Erfolge k potenziert wird und (1 - p) ist die Misserfolgs-W.keit (Gegenw.keit), die mit der Anzahl der Misserfolge potenziert wird. n ist die Anzahl der Versuchsreihe In Deinem Fall (Mnzwurf) ist die W.keit eines Erfolges (Beispiel Kopf) genauso hoch wie die des Misserfolges (Zahl). Deswegen gilt: (12 ber 6) * (0,5)^6 * (0,5)^6 = (12 ber 6) / 2^12. Mchte man beispielsweise die W.keit dafr berechnen, dass man bei 12 Wrfen 6 mal die 6 wrfelt, sieht die Sache schon ganz anders aus: Die Erfolgsw.keit eine 6 zu wrfeln, betrgt 1/6, keine 6 zu wrfeln entsprechend => 1-p = 5/6 => Die W.keit bei 12 Wrfen genau 6 mal die 6 zu wrfeln betrgt B(k p , n ) = B(6 1/6 , 12) = (12 ber 6) * (1/6)^6 * (5/6)^6 => Die W.keit bei 3 Wrfen genau 0 mal die 6 zu wrfeln betrgt B(3,0) = (3 ber 0) * (1/6)^0 * (5/6)^3 = 1 * 1 * (5/6)^3 = 5^3/6^3 Aber diese W.keit hast Du sicherlich schon einmal, nur auf eine andere Art (Baumdiagramm, 1. und 2. Pfadregel), berechnet. Falls Du viel mit Wahrscheinlichkeitsrechnungen zu tun hast, schau Dir die Binomialverteilung gut an, die ist wirklich sehr wichtig in der Mathematik. Gru @ Nachtrag: Offensichtlich sind wieder die Plan- oder Lust-Losen unterwegs, die nur im Sinn haben, andere Antworten zu bewerten, anstatt mal selbst zu berlegen. Lieber Fragesteller oder Fragestellerin! Lass Dich bitte nicht von den Bewertungen beirren. Frag lieber noch einmal nach, falls etwas unklar ist. Man hilft hier gerne weiter. Gru |
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| Autor: | SAmsel [ Mi 8. Mai 2013, 16:36 ] |
| Betreff des Beitrags: | Wahrscheinlichkeit: Mnzwurf? |
Anzahl der gnstigen Mglichkeiten: k=6 Kpfe auf n=12 Pltze ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung verteilen = 12C6 (12C6 bedeutet den Binomialkoeffizienten 12 ber 6) Anzahl aller Mglichkeiten: k=2 Zahlen auf n=12 Pltze mit Reihenfolge und mit Wiederholung verteilen = 2^12 => P(genau 6mal Kopf)=(12C6)/2^12 Man kann dies auch mit Binomialverteilung rechnen: k=6; n=12; p=1/2 => P(genau 6mal Kopf)=(12C6)*(1/2)^6*(1/2)^(12-6) Das Ergebnis ist das selbe! ZUSATZ: Dann dividierst Du auch durch 2^12, da das die Anzahl aller Mglichkeiten ist und bleibt. |
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