Folgendes ist gegeben:

-also ein test besteht aus 20 fragen mit jeweils 5 antwortmglichkeiten, von denen stets eine richtig ist.

-der kandidat hat keine ahnung von den fragen und setzt auf sein glck

Frage: Mit welcher wahrscheinlichkeit erzielt er MINDESTENS 6 richtige antworten.

ALSO n=20;p=0,2;k=6


SO jetzt ist die lsung im buch vorgegeben, aber ich verstehe nichts...

"Gesucht ist die Wahscheinlichkeit P(X6) fr ein rechtsseitiges Intervall. Wir knnen diese Wahrscheinlichkeit als Gegegenwahrscheinlichkeit von P(X5) bestimmen."

P(X6)=1 P(X5)
=1 F(20;0,2;5)
=1 0,8042
=0,1958=19,58%


GUT , ich verstehe nicht was der Text in anfhrungsstrichen besagt.... und wieso 1 P(X 5)??

Hallo Klick!


Die Wahrscheinlichkeiten (W.) kann man ja mit der Binomialverteilung berechnen.
Wenn man wissen mchte, wie hoch die W. ist, dass er gar keine einzige Frage richtig beantwortet hat, berechnet sich wie folgt:

P(X = 0) = (20 ber 0) * 0,2^0 * 0,8^20 = ...

W. dafr, dass er GENAU eine Frage richtig beantwortet hat
P(X = 1) = (20 ber 1) * 0,2^1 * 0,8^19 = ...

W. dafr, dass er GENAU zwei Fragen richtig beantwortet hat
P(X = 2) = (20 ber 2) * 0,2^2 * 0,8^18 = ...

entsprechend GENAU X = 3, usw. X = 20

Wenn man alle 21 W. zusammen aufaddiert, ergibt das = 1
P(X = 0) + P(X = 1 ) + P(X = 2) + usw. ...+ P(X = 19) + P(X = 20) = 1

Denn die W. dafr, dass er gar keine oder genau eine oder genau zwei oder ....usw. oder genau neunzehn oder genau zwanzig Antworten richtig hat, betrgt = 1


Wenn man nun wissen mchte, wie hoch die W. betrgt, dass er HCHSTENS zwei Fragen richtig beantwortet hat (, d.h. gar keine (0) oder genau (1) oder genau (2)) , dann werden die W. von P(X=0) und P(X=1) und P(X=2) addiert.

P(X 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = ...

Damit Du nicht jede einzelne Wahrscheinlichkeit berechnen musst, gibt es Tabellen, in denen Du fr HCHSTENS (2) nachschauen kannst:

P(X 2) = F(20 ; 0,2 ; 2) = F(n ; p ; Anzahl) = ... = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = ...

Fr HCHSTENS 5 richtige Antworten entsprechend (P(X=0) + P(X=1) + ...+ P(X = 5))
F(n ; p ; Anzahl) = P(X 5) = 0,8042


So, jetzt ist aber nach MINDESTENS 6 gefragt. Das bedeutet, man msste die einzelnen W. von P(X=6) ; P(X=7) , usw. bis P(X=20) alle berechnen und aufaddieren. Aber man wei, dass alle W. zusammen (von X = 0 bis X = 20) aufaddiert = 1 ergeben.
P(X = 0) + P(X = 1 ) + P(X = 2) + usw. ...+ P(X = 19) + P(20) = 1


Deswegen schaut man bei HCHSTENS 5 -> P(X 5) = 0,8042 nach und zieht diese W. von 1 ab.
Es fallen dann in der Summe von P(X = 0) bis P(X = 20) ausgerechnet P(X=0) bis P(X = 5) einfach weg

P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + usw. ...+ P(X = 19) + P(X=20) - P(X 5) = 1- 0,8042

stehen bleibt die Summe von

P(X = 6) + P(X = 7) + ...usw. + P(X = 19) + P(X=20) = 1- 0,8042 = =0,1958=19,58%
Und diese W. wollte man ja wissen (mindestens 6 Antworten sind richtig)


Fazit:
Fr "GENAU" verwendet man die Binomialverteilung (Formel)
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung#Definition_der_Binomialverteilung
Fr "HCHSTENS" ..."" verwendet man die Tabellen (linksseitiges Intervall )
Fr "MINDESTENS" ..."" berechnet man die Gegenwahrscheinlichkeit von "HCHSTENS" und zieht bei der Anzahl einen ab (rechtsseitiges Intervall)
=> 1 - F(n ; p ; Anzahl -1) = 1 - P(X (Anzahl -1)) = P(XAnzahl )



Gru

Das Gegenereignis zu ,,MINDESTENS 6 RICHTIGE
ANTWORTEN ist ,,HCHSTENS 5 RICHTIGE
ANTWORTEN.
X ist die Anzahl der richtigen Antworten.
Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses ist gleich
1-die Wahrscheinlichkeit de Ereignisses selbst.