Wir hatten whrend der Mittagspause eine Diskussion zum hypothetischen Luftdruck in der Erdmitte. Angenommen die Erde sei eine feste Kugel mit konstanter Dichte. Man bohrt jetzt ein Loch bis zur Erdmitte und ein paar Dezimeter darber hinaus. Dann versenkt man ein Dosen-Barometer (mit hinreichend groem Messbereich). Das Barometer wird dann in der Erdmitte schweben. Soweit sind wir uns einig. Aber welchen Luftdruck wrde es anzeigen?

Unheimlich hoch, alles flssige Erdmasse.

Null!

In innern einer homogenen Hohlkugelschale gibt es kein (Gravitations-) Feld. Fr die homegene Kugel hast die zur Folge, das die Schwerkraft auerhalb der Kugel mit 1/r abnimmt, im Innern mit r zunimmt. In der Folge herrst im Erdmittelpunkt Schwerelosigkeit. Ein Gas in Schwerelosigkeit hat keinen Druck.

Der Beweis wird noch nachgeliefert

Zunchst der Beweis. Du bist ja Chemiker, da kann man ja etwas Mathe voraussetzen. Die Divergenz des Gravitationsfeldes g im inneren eines Hohlkrpers ist proportional zu Massendichter verteilung rho,

also

div g = c rho

wobei im SI-Einheitensystem c= - 4 pi G (G=universelle Gravitationskonstante). Noch dem Satz von Gauss folgt sofort g=0. Die anschauliche Erklrung fr den Mittelpunkt einer homongen Hohlkugelschale ist, das jedem Massenelement der Schale genanu gleiche massiges, gleichweit vom Mittelpunkt entferntes Massenelement gegenber liegt. Somit habe dich die Massenanziehung fr die Massenelemente auf. Und dies gilt fr jedes Massenelement. Fr die Feldfreiheit im Mittelpunkt der homogenen genherten Erde scheide ich eine Kugel mit dem Radius r aus und habe die Feldfreiheit. Dann lasse ich r ->0 gehen und fr jeder r>0 bleibt die Feldfreiheit bestehen, simit ist auch fr r-> 0 der Mittelpunkt feldfrei (Anwendung der Definition des Limes)

Was den Vergleich mit der IIS angeht. Wie lange wird wohl der Luftdruck anhalten wenn man ein Loch (wie fr die Erde beschrieben) durch die Hlle bohrt?. Der Druck in der ISS oder in einen hoche fleigenden Fugzeug kommt nicht durch die Gravitation, sondern das Hlle ein aufgepumpter Druckbehlter ist.

Nachtrag: Ich gabe gestern Nacht mir nochmal die Herleitung der barometrischen Hhenformel betrachtet, jedoch fr eine Kraft die proportional zum Erdmittelpunkt zunimmt. Fr diesen Fall ist, ich muss dass jedoch nochmal nachrechen (falls Danjel die Zeit nochmal verlngen kann, knnte ich das Mittwoch einstellen), der Druck ber die Rhre konstant. also im Erdmittelpunkt wre rund 1 Bar Luftdruck.

Nun die Berechung des Luftdruckes in Erdmittelpunkt (Formelzeichnen unter Quellen)

Eine dnne Schicht mit den Volumen dV =A dh drckt mit der Kraft dF auf die Grenzflche

dF = - m g dh =- rho g dV = - rho g A dh

dp =dF/A = - rho g dh

Da lt Fragestellung der Erde als homogen anzusehen ist, ist auch die Temperatur homegen, sodass gilt

p V = p m rho = const => rho/rhoR0 = p/ pR0

also

dp = - p rhoR0/pR0 g dh

Weil im inner der homegen Kugel der Schwerebeschleunigung ~ Abstand zum Mittelpunkt ist wie g durch G h ersetzt, also

dp/p = - rhoR0/pR0 G h dh

Integration auf beiden Seiten von 0 bis r

ln(p(r)) - ln (p(0)) = - rhoR0/pR0 G h/2

p(r) = p(0) exp(- rhoR0/pR0 G h/2)

Zum bestimmen des freien Parameters der DGL wird

p(R0)= pR0 =p(0) exp(- rhoR0/pR0 G h/2 )

nach p0 gelst und man erhlt

p(0) = pR0 exp(rhoR0/pR0 G R0/2 ) = 7,3 * 10^-166 Pa

Der Druck am Erdmittelpunkt ist also 7,3 * 10^-166 Pa und relativ nahe am Vakuum

Gibt es eigentllich noch die frhere sog. Brownsche Molekularbewegung? Die berlegung soll ohen realistsiche temperatur-We rte angestellt werden, schtze ich? Sorgen nicht andere Himmelskrper fr Graviation auch in der Erdmitte?

Sehr hoch. Um den Wert zu berechnen msste man drei Dinge bercksichtigen:

1) Den Schwerkraftverlauf. Hierzu msste man in der barometrischen Hhenformel fr den Fall der geopotentiellen Hhen noch den Verlauf im Erdinneren (lineares Ansteigen mit der Entfernung vom Erdmittelpunkt) hinzufgen. Das ginge noch relativ einfach, in der simplen Modellierung einer gleichmigen Masserverteilung (die sicher sehr grob ist). Ich habe aber gerade keine Lust das auszurechnen, denn vermutlich wrde das Ergebnis *noch* wesentlicher bestimmt durch

2) den Temeperaturverlauf, schlielich wrde dieses Loch durch glhend heies Magma und durch den Erdkern verlaufen.

3) in der Realitt wrden die Wnde des Lochs nicht unendlich starr sein und ebenfalls Druck auf die Luft ausben.

Dass dort keine effektive Schwerkraft herrscht, heit noch lange nicht, dass der Druck dort auch Null ist. Ansonsten wrde ja der Erdkern im Erdmittelpunkt verdampfen und die Vorstellung einer *drucklosen* heien Eisendampfblase im Erdmittelpunkt ist schon recht bizarr, oder? ;)